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来自 办公软件 2020-01-19 15:06 的文章
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BP神经网络,实现源码解析

多年来这段时间系统性的求学了BP算法后写下了那篇学习笔记,因为技巧有限,若有妇孺皆知错误,还请提议

  秋招刚截至,那俩月没事就学习下洛桑联邦理历史大学公然课,想学习一下深度学习(那个时候头不会DL,都不敢说自个儿懂机器学习),近日学到了神经互连网部分,学习起来有一些费劲,把后边学的BP(back-progagation卡塔尔(قطر‎神经互联网复习贰次加深纪念。看了许多篇章开采大器晚成PPT地点写的很分明,就搬运过来,废话非常的少说,直入正题:

TensorFlow从0到1各种各样回看

目录

  • 怎么着是梯度下跌和链式求导法则
  • 神经网络的布局
  • BP算法中的推行流程(前向传递和逆向更新)
  • 输出层和隐敝层权重以致偏置更新的推理
  • Python 完毕源码拆解深入分析
  • 手写数字识别实例
  • 教练神经互连网中有啥样难点

单个神经元

  神经网络是由三个“神经元”组成,单个神经元如下图所示:

图片 1

  那实际上正是三个单层感知机,输入是由ξ1 ,ξ2 ,ξ3和Θ组成的向量。当中Θ为偏置(bias卡塔尔(قطر‎,σ为激活函数(transfer function卡塔尔(قطر‎,本文接收的是sigmoid函数图片 2,效能与阶梯函数(step function卡塔尔(قطر‎相同调控设神经元的输出,它的长处是连接可导。

图片 3是神经元的出口,结果为图片 4

能够看得出这几个“神经元”的输入-输出映射其实便是二个逻辑回归,常用的激活函数还也可以有双曲正切函数 。

 激活函数

sigmoid:函数

图片 5

取值范围为[0,1],它的图像如下:

图片 6

求导结果为:

图片 7

 

tanh函数:

 图片 8

取值范围为[-1,1],图像如下:

图片 9

 求导数结果为图片 10。本文选择的是sigmoid函数作为激活函数。

上生龙活虎篇 9 “驱魔”之反向传来大法引出了反向传播算法——神经网络的内燃机,并在最后眼线了它的全貌。本篇将详细的钻探反向传播各个区域面包车型地铁细节。纵然它被TensorFlow封装的很好,但仍刚毅建议把它充当人工神经网络的幼功,领悟并掌握它,回报宏大。

梯度下落和链式求导法规

就算大家有叁个函数 J,如下图所示。

图片 11梯度下跌暗指图

今昔,大家供给当 w 等于什么的时候,J 能够取到最小值。从图中大家精通最小值在起来地点的右边,也就代表生龙活虎旦想要使 J 最小,w 的值须要减小。而开第一地点的切线的斜率 a > 0(也即该地方对应的导数大于0),w = w – a 就能够让 w 的值减小,循环求导更新 w 直到 J 得到最小值。要是函数 J 富含八个变量,那么快要分别对不相同变量求偏导来更新分化变量的值。

所谓的链式求导准则,就是求复合函数的导数

图片 12链式求导法规

放个例题,会越加领悟有个别:

图片 13链式求导的事例

神经互连网模型

神经网络将过多“神经元”联结在一块儿,四个神经元的出口能够是另一个“神经元”的输入,神经元之间的传递供给乘法上四个神经元对应的权重,下图就是贰个精简的神经网络:

图片 14

那是一个三层的神经互连网,使用圆圈来表示神经元的输入,“ 1”被叫作偏置节点,从左到右依次为输入层、隐瞒层和输出层,从图中能够见见,有3个输入节点、3个藏匿节点和两个输出单元(偏置不选用输入State of Qatar。

本例神经网络的参数有图片 15,其中 图片 16是第l层第 j 单元与 l 1层第  图片 17 单元之间的对接参数,即:节点连线的权重,本图中图片 18 是第l 1 层第i单元的偏置项。

《Neural Network and Deep Learning》的作者Nielsen写道:

神经互联网的结构

神经互联网由三片段构成,分别是最左边的输入层,隐讳层(实际选拔中国远洋运输总集团远不仅生龙活虎层)和最右侧的输出层。层与层之间用线连接在同步,每条连接线都有一个相应的权重值 w,除了输入层,经常的话每一种神经元还应该有相应的偏置 b

图片 19神经互联网的构造图

除外输入层的神经细胞,各类神经元都会有加权求和获得的输入值 z 和将 z 通过 Sigmoid 函数非线性转变后的输出值 a,他们中间的计算公式如下

图片 20神经元输出值 a 的总括公式

里面,公式里面包车型地铁变量l和j表示的是第 l 层的第 j 个神经元,ij 则意味着从第 i 个神经元到第 j 个神经元之间的连线,w 表示的是权重,b 表示的是偏置,后边这个标志的意义概略上与这里描述的相近,所以不会再作证。下边的Gif 动图可以更进一层精通各类神经元输入输出值的酌量方法(注意,这里的动图并不曾加多偏置,但运用中貌似都会增加)

图片 21动图彰显总计神经元输出值

利用激活函数的缘由是因为线性模型(不恐怕管理线性不可分的事态)的表明本事非常不足,所以这里日常要求参与Sigmoid 函数来参预非线性因素得到神经元的输出值。

关于为啥线性函数模型表明工夫相当不够,能够点击这里查看腾讯网上边包车型地铁座谈

图片 22sigmoid 函数

可以见到 Sigmoid 函数的值域为 ,若对于多分类职分,输出层的种种神经元能够象征是该分类的票房价值。当然还设有任何的激活函数,他们的用项和优劣点也都分裂。

前行传播

  机器学习(有监察和控制卡塔尔的天职无非是损失函数最小化,BP神经网络的原理是前向传播得到目的值(分类),再经过后向传来对data loss举行优化求出参数。可以预知最优化部分

   图片 23 表示图片 24 层第 图片 25 单元激活值(输出值)。当 图片 26 时, 图片 27 ,也正是第 图片 28 个输入值。对于给定参数集 图片 29 ,图片 30 来代表神经网络最终计算输出的结果。上图神经网络总括步骤如下:

图片 31

 能够阅览,神经互连网的宗旨理想是那生机勃勃层的出口乘上相应的权重加上偏置,带入激活函数后的输出又是下大器晚成层的输入。用 图片 32 表示第图片 33层第图片 34 单元输入加权和图片 35 ,则 图片 36。使用向量化表示方法表示,上边的公式能够简写为:

图片 37

 

这一个总括步骤就是前向传来,将计算进程进展放大,给定第 图片 38 层的激活值 图片 39,第 图片 40层的激活值图片 41的计算进度为:

图片 42

 

It actually gives us detailed insights into how changing the weights and biases changes the overall behaviour of the network. That's well worth studying in detail.

实在它(反向传播算法)给了我们特别缜密的观测:怎么着通过退换权重和偏置来更改互联网的少年老成体化展现。特别值得深切的求学。

BP 算法推行的流程

在手工设定了神经网络的层数,每层的神经细胞的个数,学习率 η后,BP 算法会先随机开首化每条连接线权重和偏置,然后对于锻练聚集的每一个输入 x 和出口 y,BP 算法都会先进行前向传输得到预测值,然后依照真实值与预测值之间的相对误差实行逆向反馈更新神经互联网中每条连接线的权重和每层的偏幸。在一向不到达截至条件的情况下重新上述进度。

个中,结束条件能够是下面那三条

  • 权重的翻新低于某些阈值的时候
  • 前瞻的错误率低于某些阈值
  • 落得预设一定的迭代次数

譬如说,手写数字识别中,一张手写数字1的图样积存了28*28 = 7八十三个像素点,每一种像素点积存着灰度值(值域为[0,255]State of Qatar,那么就象征有7八十一个神经元作为输入层,而输出层有 10 个神经孙吴表数字 09,每种神经元取值为01,代表着那张图纸是这几个数字的概率。

每输入一张图片,神经网络会实践前向传输意气风发层风度翩翩层的简政放权到输出层神经元的值,遵照哪个输出神经元的值最大来预测输入图片所代表的手写数字

然后依照输出神经元的值,总结出预测值与真实值之间的相对误差,再逆向反馈更新神经网络中每条连接线的权重和种种神经元的钟爱

从输入层=>掩瞒层=>输出层,风姿浪漫层大器晚成层的测算有所神经元输出值的经过。

因为输出层的值与忠实的值会设有固有误差,我们得以用均方抽样误差来衡量预测值和真实值之间的基值误差

图片 43均方固有误差

逆向反馈的对象正是让E函数的值尽恐怕的小,而各类神经元的输出值是由该点的连接线对应的权重值和该层对应的溺爱所调整的,由此,要让相对误差函数达到最小,我们就要调度w和b值, 使得基值误差函数的值最小。

图片 44权重和偏置的更新公式

对指标函数 E 求 w 和 b 的偏导能够博得 w 和 b 的更新量,上面拿求 w 偏导来做推导

图片 45

里面 η 为学习率,取值常常为 0.1 ~ 0.3,能够领悟为每一次梯度所迈的脚步。注意到 w_hj 的值先影响到第 j 个出口层神经元的输入值a,再影响到输出值y,依据链式求导准则有

图片 46应用链式法则展开对权重求偏导

听闻神经元输出值 a 的定义有

图片 47对函数 z 求 w 的偏导

Sigmoid 求导数的架子如下,从姿势中得以窥见其在Computer中落实也是特其他惠及

图片 48Sigmoid 函数求导

所以

图片 49

则权重 w 的更新量为

图片 50

相通可得 b 的更新量为

图片 51

但那七个公式只好够立异输出层与前风流浪漫层连接线的权重和输出层的偏置,原因是因为 δ 值注重了真格的值y那么些变量,但是我们只略知黄金时代二输出层的真人真事值而不精晓每层遮盖层的真实值,诱致无能为力测算每层隐敝层的 δ 值,所以大家希望能够使用 l 1 层的 δ 值来总括 l 层的 δ 值,而恰好通过一些列数学变换后方可完结,那也正是逆向反馈名字的因由,公式如下:

图片 52

从姿势中我们能够看见,大家只需求知道下意气风发层的权重和神经元输出层的值就能够总结出上风流倜傥层的 δ 值,我们只要透过持续的应用方面这几个姿势就可以立异隐蔽层的所有事权重和偏置了

在推演早先请先观看上边这张图

图片 53l 和 l 1 层的神经细胞

先是大家看见 l 层的第 i 个神经元与 l 1 层的持有神经元都有连续几天,那么我们能够将 δ 张开成如下的姿态

图片 54

相当于说咱俩得以将 E 看做是 l 1 层全数神经元输入值的 z 函数,而地情势子的 n 表示的是 l 1 层神经元的多寡,再举办化简后就足以获取地方所说的姿态。

在此处的推理进度只解释了主要的有个别,比方要查阅尤其详细的推理内容,能够点击这里下载作者在学习进度中参阅的生龙活虎篇 pdf 文档,里面包车型客车演绎进程充足详细。此外也参照了周志华所写的机械学习中的神经互联网部分的从头到尾的经过和neuralnetworksanddeeplearning 的内容

反向传播

在前向传播中,大家获取了神经网络的预测值图片 55,那时候能够由此反向传来的格局计算出参数

标识定义

图片 56:第l层第j个节点的输入。

图片 57:从第l-1层第i个节点到第l层第j个节点的权值。

图片 58:Sigmoid激活函数。

图片 59::第l层第j个节点的偏置。

图片 60::第l层第j个节点的输出。

图片 61::输出层第j个节点的指标值(label卡塔尔(قطر‎。

接收梯度下落的艺术求解参数,在求解的长河中供给对输出层和掩瞒层分开总括

幸亏那面最困顿的——推导反向传来四大公式,也毫无看上去那么难:keep calm and use chain rule(链式求导法规)。

源码剖析

源码来自于 Michael Nielsen 大神的吃水学习在线教程,但他的内容都以葡萄牙语的,作者结合了协和的知情和上边的理论知识对源码进行了批注。>>点击这里查看整理的代码和数字识别实例<<

行使 Python 达成的神经互联网的代码行数并相当的少,仅包括叁个 Network 类,首先来探视该类的布局方法

def __init__(self, sizes): """ :param sizes: list类型,储存每层神经网络的神经元数目 譬如说:sizes = [2, 3, 2] 表示输入层有两个神经元、 隐藏层有3个神经元以及输出层有2个神经元 """ # 有几层神经网络 self.num_layers = len self.sizes = sizes # 除去输入层,随机产生每层中 y 个神经元的 biase 值 self.biases = [np.random.randn for y in sizes[1:]] # 随机产生每条连接线的 weight 值 self.weights = [np.random.randn for x, y in zip(sizes[:-1], sizes[1:])]

上前传输(FreedForward)的代码

 def feedforward: """ 前向传输计算每个神经元的值 :param a: 输入值 :return: 计算后每个神经元的值 """ for b, w in zip(self.biases, self.weights): # 加权求和以及加上 biase a = sigmoid(np.dot return a

源码里应用的是随便梯度下跌(Stochastic Gradient Descent,简称SGD),原理与梯度下跌雷同,分化的是不管三七三十大器晚成梯度下跌算法每一趟迭代只取多少聚焦有个别的样板来更新 w 和 b 的值,速度比梯度下落快,但是,它不肯定会磨灭到有的相当小值,大概会在部分十分的小值左近徘徊。

 def SGD(self, training_data, epochs, mini_batch_size, eta, test_data=None): """ 随机梯度下降 :param training_data: 输入的训练集 :param epochs: 迭代次数 :param mini_batch_size: 小样本数量 :param eta: 学习率 :param test_data: 测试数据集 """ if test_data: n_test = len(test_data) n = len(training_data) for j in xrange: # 搅乱训练集,让其排序顺序发生变化 random.shuffle(training_data) # 按照小样本数量划分训练集 mini_batches = [ training_data[k:k mini_batch_size] for k in xrange(0, n, mini_batch_size)] for mini_batch in mini_batches: # 根据每个小样本来更新 w 和 b,代码在下一段 self.update_mini_batch(mini_batch, eta) # 输出测试每轮结束后,神经网络的准确度 if test_data: print "Epoch {0}: {1} / {2}".format( j, self.evaluate(test_data), n_test) else: print "Epoch {0} complete".format

基于 backprop 方法赢得的偏导数更新 w 和 b 的值

 def update_mini_batch(self, mini_batch, eta): """ 更新 w 和 b 的值 :param mini_batch: 一部分的样本 :param eta: 学习率 """ # 根据 biases 和 weights 的行列数创建对应的全部元素值为 0 的空矩阵 nabla_b = [np.zeros for b in self.biases] nabla_w = [np.zeros for w in self.weights] for x, y in mini_batch: # 根据样本中的每一个输入 x 的其输出 y,计算 w 和 b 的偏导数 delta_nabla_b, delta_nabla_w = self.backprop # 累加储存偏导值 delta_nabla_b 和 delta_nabla_w nabla_b = [nb dnb for nb, dnb in zip(nabla_b, delta_nabla_b)] nabla_w = [nw dnw for nw, dnw in zip(nabla_w, delta_nabla_w)] # 更新根据累加的偏导值更新 w 和 b,这里因为用了小样本, # 所以 eta 要除于小样本的长度 self.weights = [w-(eta/len(mini_batch))*nw for w, nw in zip(self.weights, nabla_w)] self.biases = [b-(eta/len(mini_batch))*nb for b, nb in zip(self.biases, nabla_b)]

上边那块代码是源码最主题的有个别,也即 BP 算法的兑现,包括了前向传输和逆向反馈,前向传输在 Network 里有独立一个办法(上边提到的 feedforward 方法),那么些方式是用以阐明练习好的神经网络的准确度的,在底下有关系该办法。

 def backprop(self, x, y): """ :param x: :param y: :return: """ nabla_b = [np.zeros for b in self.biases] nabla_w = [np.zeros for w in self.weights] # 前向传输 activation = x # 储存每层的神经元的值的矩阵,下面循环会 append 每层的神经元的值 activations = [x] # 储存每个未经过 sigmoid 计算的神经元的值 zs = [] for b, w in zip(self.biases, self.weights): z = np.dot(w, activation) b zs.append activation = sigmoid activations.append(activation) # 求 δ 的值 delta = self.cost_derivative(activations[-1], y) *  sigmoid_prime nabla_b[-1] = delta # 乘于前一层的输出值 nabla_w[-1] = np.dot(delta, activations[-2].transpose for l in xrange(2, self.num_layers): # 从倒数第 l 层开始更新,-l 是 python 中特有的语法表示从倒数第 l 层开始计算 # 下面这里利用 l 1 层的 δ 值来计算 l 的 δ 值 z = zs[-l] sp = sigmoid_prime delta = np.dot(self.weights[-l 1].transpose * sp nabla_b[-l] = delta nabla_w[-l] = np.dot(delta, activations[-l-1].transpose return (nabla_b, nabla_w)

接下去则是 evaluate 的落实,调用 feedforward 方法总结演习好的神经网络的出口层神经元值,然后比对正确值和预测值获得正确率。

 def evaluate(self, test_data): # 获得预测结果 test_results = [(np.argmax(self.feedforward for  in test_data] # 返回正确识别的个数 return sum(int for  in test_results)

** 最终,我们得以选择这么些源码来练习八个手写数字识别的神经网络,并出口评估的结果,代码如下:**

import mnist_loaderimport networktraining_data, validation_data, test_data = mnist_loader.load_data_wrapper()net = network.Network([784, 30, 10])net.SGD(training_data, 30, 10, 3.0, test_data = test_data)# 输出结果# Epoch 0: 9038 / 10000# Epoch 1: 9178 / 10000# Epoch 2: 9231 / 10000# ...# Epoch 27: 9483 / 10000# Epoch 28: 9485 / 10000# Epoch 29: 9477 / 10000

能够观看,在通过 30 轮的迭代后,识别手写神经互联网的准确度在 95% 左右,当然,设置分化的迭代次数,学习率以取样数对精度都会有震慑,怎么样调参也是一门技能活,那些坑就前期再填啊。

出口层权重总括

  给定样板标签图片 62和模型输出结果图片 63,输出层的损失函数为:

图片 64

那实在便是均方差项,练习的目标是最小化该模型误差,使用梯度下落方法进行优化,对上式子对权重W进行求导:

图片 65

,整理图片 66

其中图片 67=图片 68带入图片 69,对sigmoid求导得:

图片 70

输出层第k个节点的输入图片 71也就是上生机勃勃层第j个节点的输出图片 72乘上图片 73,即图片 74=图片 75图片 76,而上意气风发层的输出图片 77与输出层的权重变量图片 78非亲非故,能够视作一个常数,所以平素求导能够拿走:

图片 79

 

所以将图片 80=图片 81辅导式子中就拿到:

图片 82

为了便利表示将上式子记作:

图片 83

其中:

图片 84

chain rule

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关键词: 澳门威利斯人 算法 机器 神经网络 源码